วันอังคารที่ 28 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2560

ความสามารถทั่วไป เงื่อนไขสัญลักษณ์

ข้อสอบ ก.พ. ความสมารถทั่วไป เงื่อนไขสัญลักษณ์ ส่วนใหญ่เป็นข้อสอบเกี่ยวกับการเปรียบเทียบ โดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เช่น

-เครื่องหมาย เท่ากัน (=) เช่น A=B
-เครื่องหมาย ไม่เท่ากัน(≠) เช่น A ≠ B
-เครื่องหมายมากกว่า (>) เช่น A > B
-เครื่องหมายน้อยกว่า(<) เช่น A < B
-เครื่องหมายมากกว่าหรือเท่ากับ (≥) เช่น A ≥ B
-เครื่องหมายน้อยกว่าหรือเท่ากับ(≤) เช่น A ≤ B
-เครื่องหมายไม่มากกว่า(≯) เช่น A ≯ B
-เครื่องหมายไม่น้อยกว่า(≮) เช่น A ≮ B

เป็นต้น

ในการแก้ปัญหาโจทย์ที่เกี่ยวกับการเปรียบเทียบ มีหลักการเบื้องต้น หรือ คุณสมบัติการไม่เท่ากันของจำนวนจริง (Properties of Inequalities) ที่ควรทราบ คือ
  1. คุณสมบัติด้านการส่งผ่าน (Transitive Property)
    ถ้าเรานำค่ามาเรียงกันในทิศทางเดียวกัน เราสามารถข้ามตัวกลางได้ เช่น
    1. A>B>C>D เราสามารถสรุปได้ว่า A>D
      นั่นคือ เราสามารถข้าม B และ C ได้
    2. ถ้า A ≥ B ≥ C ≥ D แล้ว
      สามารถสรุปได้ว่า
      A ≥ D
    3. ถ้า A > B ≥ C ≥ D แล้ว
      สามารถสรุปได้ว่า
      A > D
    ข้อสังเกต
    1. ความเท่ากันของเครื่องหมาย ≥ จะหายไป เมื่อมีเครื่องหมายที่ต่างกัน
    2. ทิศทางของเครื่องหมาย ต้องมีทิศทางเดียวกัน จะมีทิศทางสวนกัน หรือต่างกัน ไม่ได้ เช่น
      ถ้า A > B ≥ C < D แล้ว
      จะสรุปความสัมพันธ์ใด ๆ ระหว่าง A และ D ไม่ได้เลย
  2. คุณสมบัติการกลับ (Reversal Property)
    เราสามารถพูดได้ว่า ถ้า A>B แล้ว เราสามารถพูดกลับกันได้ว่า B<A

    ตัวอย่าง
    พ่อสูงมากกว่าแม่ พูดได้อีกอย่างว่า แม่สูงน้อยกว่าพ่อ
  3. การบวกและลบ
    เราสามารถนำตัวเลขตัวเดียวกัน มาบวก หรือ ลบ จำนวนที่ไม่เท่ากันได้ โดยยังมีทิศทางคงเดิม เช่น
    ถ้า A > B > C แล้ว สรุปได้ว่า A+D > B+D > C+D หรือ
    ถ้า A > B > C แล้ว สรุปได้ว่า A+5 > B+5> C+5 หรือ
    ถ้า A+D > B+D > C+D แล้ว สรุปได้ว่า A > B > C หรือ
    ถ้า A-D > B-D > C-D แล้ว สรุปได้ว่า A > B > C
    ตัวอย่าง
    พี่มีเงินมากว่าน้อง พ่อให้เงินพี่และน้องอีกคนละ 5 บาท เราสามารถสรุปได้ว่า พี่มีเงินมากกว่าน้อง เหมือนเดิม
  4. การคูณและหาร ด้วยจำนวนเต็มบวกที่ไม่ใช่ศูนย์
    เราสามารถนำเลขจำนวนเต็มที่มีค่าเป็นบวกที่ไม่เป็นศูนย์มาคูณหรือหาร จำนวนที่ไม่เท่ากัน ได้ โดยไม่ทำให้ทิศทางการไม่เท่ากันเปลี่ยนแปลง เช่น ถ้า A > B > C และ D เป็นเลขจำนวนเต็มบวกที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้ว สรุปได้ว่า DA > DB > DC หรือ
    ถ้า A > B > C แล้ว สรุปได้ว่า 5A > 5B > 5C

    ตัวอย่าง
    พี่มีเงิน 7 บาท น้องมีเงิน 5 บาท พ่อให้เงินพี่และน้องเพิ่มอีกคนละ 2 เท่า สรุปได้ว่า พี่มีเงินมากกว่าน้อง เพราะ พ่อให้เงินพี่ เท่ากับ 7x2 = 14 บาท ให้เงินน้อง 5x2 = 10 บาท ดังนั้น พี่มีเงิน 14+7 = 21 บาท น้องมีเงิน 5+10=15 บาท

    ข้อนี้มีประโยชน์คือ ถ้าโจทย์ ก.พ. มีการให้มา 2 เงื่อนไข แต่ตัวเชื่อมไม่เท่ากัน เราสามารถปรับตัวเชื่อมให้เท่ากันได้ โดยการคูณ หรือ หาร

  5. การคูณ หรือหาร ด้วยจำนวนลบ จะทำให้เครื่องหมายกลับเป็นตรงข้าม เช่น
    ถ้า a < b และ c เป็นเลขจำนวนเต็มลบ จะสรุปได้ว่า ac > bc
    (เท่าที่ผ่านมา ข้อสอบ ก.พ. ยังไม่พบว่ามีการใช้การคูณด้วยจำนวนเต็ม ลบ)
  6. การคูณไขว้ เศษส่วน
    ในกรณีที่ทุกตัวมีค่ามากกว่า 0 สามารถนำมาคูณไขว้กันได้ เช่น
    ถ้า
    A/3
    >
    B/4
    แล้ว 4A > 3B
    หรือ
    1/2
    >
    2/5

    (1)(5) > (2)(2)
    5 > 4
  7. การกลับเศษเป็นส่วน(Multiplicative Inverse) จะทำให้เครื่องหมายเปลี่ยนเป็นตรงข้าม เช่น
    ถ้า a และ b เป็นเลขจำนวนบวก หรือ จำนวนลบ
    ถ้า
    a/1
    <
    b/1
    สรุปได้ว่า
    1/a
    >
    1/b

    ตัวอย่าง
    3 > 2 สรุปได้ว่า
    1/3
    <
    1/2

    หรือ ในการแข่งขันการเดิน ระยะทาง 12 กม. สมศักดิ์เดินได้เร็ว 6 กม/ชม. สุดาเดินได้เร็ว 4 กม/ชม
    6 > 4
    แต่สมศักดิ์ใช้เวลา น้อยกว่า สุดา
    12/6
    <
    12/4

    2 < 3
    กรณีการกลับเศษเป็นส่วน พบอยู่บ้างในข้อสอบ ก.พ.

ลักษณะโจทย์ เงื่อนไขสัญลักษณ์

เงื่อนสัญลักษณ์ จะประกอบด้วย เงื่อนไขจำนวนหนึ่ง และมีข้อสรุปจำนวน 2 ข้อ ผู้เข้าสอบ ต้องพิสูจน์ว่าข้อสรุปแต่ละข้อ เป็นจริงตามเงื่อนไขหรือไม่ หรือไม่แน่นอน แล้วจึงเลือกตอบให้ถูกต้อง เช่น ถ้าเป็นจริงทั้งสองข้อ ตอบข้อ 1 เป็นต้น
ตัวอย่างลักษณะโจทย์ เงื่อนไขสัญลักษณ์
เงื่อนไข
A > C > K >B ข้อสรุป
1. K < A
2. A > B

การแก้ปัญหาโจทย์ เงื่อนไขสัญลักษณ์ มีหลักการดังนี้

  1. ในกรณีที่เงื่อนไขมีเครื่องหมาย ไม่มากกว่า(≯) หรือ เครื่องหมายไม่น้อยกว่า(≮) ให้แปลงเครื่องหมายดังกล่าวเป็น < หรือ > ดังนี้
    แปลงเครื่องหมายไม่มากกว่า(≯) เป็นเครื่องหมาย น้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤)
    แปลงเครื่องหมายไม่น้อยกว่า(≮) เป็นเครื่องหมายมากกว่าหรือเท่ากับ (≥)
    แปลงเครื่องหมายไม่มากกว่าหรือเท่ากับ(≱) เป็นเครื่องหมาย น้อยกว่า (<)
    แปลงเครื่องหมายไม่น้อยกว่าหรือเท่ากับ(≰) เป็นเครื่องหมายมากกว่า (>)
    ทั้งนี้เพื่อให้สะดวกในการแก้ปัญหา เช่น
    A > B > C ≮ D
    เขียนใหม่เป็น
    A > B > C ≥ D
  2. ในกรณีที่ โจทย์กำหนดเงื่อนไข ในลักษณะการบวกกัน ให้กระจายการบวกออกเป็นตัวเดี่ยว ๆ เช่น
    P > A+B สามารถกระจายออกได้เป็น
    P > A+B > A (เพราะ A+B ย่อมมากกว่า A) และ
    P > A+B > B
    หรือเขียนเสียใหม่ได้ว่า
    P > A+B > A, B
    นั่นคือ จากเงื่อนไขข้างบนนี้ เราสามารถสรุปได้ว่า
    P > A
    P > B
    P มีค่ามากที่สุด
    จากเงื่อนไขข้างบนนี้ เราไม่สามารถสรุปความสัมพันธ์ ระหว่าง A และ B ได้

    P > A+B > C+D สามารถกระจายออกได้เป็น
    P > A+B > A, B > C+D > C,D

    นั่นคือ จากเงื่อนไขข้างบนนี้ เราสามารถสรุปได้ว่า
    P > A+B > C
    P > A > C
    P > A
    P > C
    P > B > C
    P > C
    P > D
    P มีค่ามากที่สุด
    เป็นต้น
    จากเงื่อนไขข้างบนนี้ เราไม่สามารถสรุปหาความสัมพันธ์ ระหว่าง A B C และ D ได้ ไม่รู้ว่า อะไรมากกว่าอะไร หรือน้อยกว่าอะไร เพราะ ไม่แน่นอน สรุปไม่ได้ ไม่มีข้อมูลพอเพียงแก่การสรุปนั่นเอง
  3. ถ้าโจทย์มีมากกว่า 1 เงื่อนไข ให้มองหาตัวเชื่อมในระหว่างเงื่อนไข และทำตัวเชื่อมให้เท่ากันเสียก่อน โดยเพิ่มค่าเชื่อมที่น้อยกว่า ให้เท่ากับตัวเชื่อมที่มากกว่า ด้วยการ คูณ ซึ่งจะทำให้เปรียบเทียบค่าทั้งในเงื่อนไขที่ 1 และ เงื่อนไขที่ 2 ได้ เช่น
    เงื่อนไขที่ 1: A > 3C > 3E > D
    เงื่อนไขที่ 2: F > C > 2B

    จะเห็นว่า ทั้งสองเงื่อนไขมีตัวเชื่อมคือ C และค่าของ C ในเงื่อนไขที่ 2 มีค่าน้อยกว่าในเงื่อนไขที่ 1
    ดังนั้นจึงทำค่าของ C ให้เท่ากับ C ในเงื่อนไขที่ 1 โดยการเอา 3 คูณเงื่อนไขที่ 2 ได้ค่าใหม่เป็น
    3F > 3C > 6B
  4. ในการหาคำตอบ ให้ดูข้อสรุปของโจทย์เป็นหลัก เช่น

    เงื่อนไขที่ 1: A > 3C > 4D > K
    เงื่อนไขที่ 2: 3F > 3C > 6B
    ข้อสรุป: 3F < 5D

    โจทย์ต้องการให้พิสูจน์การเปรียบเทียบระหว่าง F กับ D โดย F อยู่ทางซ้ายของเครื่องหมาย และ D อยู่ทางขวาของเครื่องหมาย
    ในการพิสูจน์ ให้เริ่มจาก F ไปหา D เพื่อให้เป็นไปตามรูปแบบตามข้อสรุปของโจทย์ ไม่ควรเริ่มจาก D เพราะจะได้ไม่ต้องสลับที่กันภายหลัง
    จากเงื่อนไข จะเห็นว่า F และ D มีความสัมพันธ์ ดังนี้
    3F > 3C > 4D
    ดังนั้น สรุปได้คือ 3F > 4D
    แต่โจทย์ต้องการเปรียบเทียบ 3F กับ 5D
    ในที่นี้ เรามี 3F ซึ่งเท่ากับค่าที่อยู่ในข้อสรุปของโจทย์แล้ว และเรายังรู้ว่า มีค่ามากกว่า 4D แต่โจทย์ต้องการเปรียบเทียบกับ 5D
    ดังนั้น ให้เอาสิ่งที่ข้อสรุปของโจทย์ที่ต้องการเปรียบเทียบ (ซึ่งก็คือ 5D) มาวางต่อท้าย 4D เพื่อเปรียบเทียบกัน ดังนี้
    3F > 4D     5D
    จากนั้น ใส่เครื่องหมายเปรียบเทียบกับค่าที่มีอยู่แล้ว เนื่องจาก 5D มากกว่า 4D จึงเขียนได้ ดังนี้
    3F > 4D > 5D
    ดังนั้นผลจากการพิสูจน์ จึงสรุปได้ว่า 3F > 5D
    เมื่อดูข้อสรุปที่ได้ กับข้อสรุปของโจทย์ ที่ว่า 3F < 5D จึงพบว่า ข้อสรุปของโจทย์ เป็นเท็จ
  5. ในกรณีที่ปรับตัวเชื่อมให้เท่ากันแล้ว แต่พบว่า ไม่มีตัวใดเลยที่เท่ากับข้อสรุปของโจทย์ เราต้องทำตัวใดตัวหนึ่งให้เท่ากับที่มีในเงื่อนไขของโจทย์ จากนั้น จึงเพิ่มตัวที่เหลือในข้อสรุปของโจทย์ และใส่เครื่องหมายเพื่อเปรียบเทียบ เช่น

    เงื่อนไขที่ 1: A > 3C > 4D > K
    เงื่อนไขที่ 2: 3F > 3C > 6B
    ข้อสรุป: F < 5D

    จากเงื่อนไข เห็นมีตัวเชื่อม 3C จึงสามารถสรุปความสัมพันธ์ของ F และ D จากเงื่อนไข ได้ดังนี้
    3F > 3C > 4D (เริ่มจาก F ไปหา D ตามลักษณะในข้อสรุปของโจทย์)
    ดังนั้น 3F > 4D
    จะเห็นว่า ข้อสรุปต้องการทราบผลการเปรียบเทียบของ F กับ 5D เราจึงต้องทำ ค่าใดค่าหนึ่ง ให้เท่ากับข้อสรุปของโจทย์
    ในที่นี้ จะทำค่า 3F ให้เป็น 1F โดยการใช้ 3 หาร ซึ่งจะได้ผล ดังนี้
    (
    3F/3
    ) > (
    4D/3
    )
    F > (
    4D/3
    )
    เมื่อได้ค่า F ตรงตามที่ข้อสรุปโจทย์ต้องการแล้ว เราจะนำข้อสรุปตัวที่เหลือมาวางด้านตรงข้ามกับค่าที่มีอยู่แล้ว ดังนี้
    F > (
    4D/3
    )     5D

    จากนั้นจึงใส่เครื่องหมายเปรียบเทียบ ซึ่งพบว่า 5D มีค่ามากกว่า (
    4D/3
    ) (เพราะ 5 มีค่ามากกว่า
    4/3
    ซึ่งเท่ากับ 1.33 นั่นเอง) หรือ (
    4D/3
    ) มีค่าน้อยกว่า 5D จึงได้ดังนี้
    F > (
    4D/3
    ) < 5D
    จะเห็นว่า ทิศทางของเครื่องหมาย สวนทางกัน ดังนั้น จึงสรุปไม่ได้ว่าอะไรเป็นอะไร เพราะ 5D มากกว่า (
    4D/3
    ) และ อาจจะมากกว่า F หรือน้อยกว่า F ก็ได้ จึงสรุปไม่ได้
    ดังนั้น จึงทำให้ข้อสรุปของโจทย์ที่ว่า F < 5D จึงสรุปไม่ได้ เพราะ F อาจจะมากกว่า 5D ก็เป็นไปได้ ตามที่เราพิสูจน์แล้ว
    สรุปว่า ข้อสรุปของโจทย์ที่ว่า F < 5D คือ สรุปไม่ได้
  6. เทคนิคเพิ่มเติม
    1. ถ้าการเปรียบเทียบ มีเครื่องหมายไปในทิศทางเดียวกัน เราสามารถสรุปได้ เช่น
      A > B > C > D
      สรุปว่า A > D เป็นจริง
      A < B < C < D
      สรุปว่า A < D เป็นจริง
    2. ในกรณีที่มีเครื่องหมายเท่ากับ ก็สามารถข้ามไปได้เลย เช่น
      A > B > C = D > G
      สามารถสรุปว่า A > D เป็นจริง
      สามารถสรุปว่า A > G เป็นจริง
    3. ในกรณีที่มีเครื่องหมายมากกว่าหรือเท่ากับ (≥) หรือ น้อยกว่าหรือเท่ากับ(≤) รวมอยู่ด้วย ความสัมพันธ์ด้านความเท่ากันระหว่างคู่ที่เปรียบเทียบซึ่งมีเครื่องหมายอื่นมาคั่น จะหายไป เช่น
      A > B > C ≥ D > G
      สามารถสรุปว่า A ≥ D เพราะความเท่ากันหายไปแล้ว ระหว่าง A กับ B และ B กับ C
      เราไม่สามารถสรุปว่า A ≥ G แต่สามารถสรุปได้ว่า A > G
    4. ถ้าการเปรียบเทียบ มีเครื่องหมายมากกว่า หรือน้อยกว่า รวมอยู่ด้วยในการเปรียบเทียบชุดเดียวกัน หรือพูดอีกอย่างว่า เครื่องหมายหันไปคนละทางกัน หรือสวนทางกัน เราไม่สามารถสรุปได้ เช่น
      A > B > C < D
      เราไม่สามารถสรุปความสัมพันธ์ระหว่าง A และ D หรือ ความสัมพันธ์ระหว่าง B กับ D ได้
      ถ้าเป็นโจทย์ ก.พ. ให้หาความสัมพันธ์ในลักษณะนี้ คำตอบคือ สรุปไม่ได้ (แต่ต้องระวัง ถ้าเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง C กับ D หรือ A กับ C ก็หาได้นะครับ)
    5. ในกรณีที่ ข้อสรุปของโจทย์ ดูซับซ้อน เช่น มีเครื่องหมายบวก ลบ รวมอยู่ด้วย อาจจะพิสูจน์จากข้อสรุป แล้วไปเปรียบเทียบกับเงื่อนไขว่า เป็นจริงตามเงื่อนไขหรือไม่
  7. การตัดสินข้อสรุปของโจทย์
    หลังจากที่เราได้ผลลัพธ์จากพิสูจน์เงื่อนไขแล้ว จึงนำมาเปรียบเทียบกับ ข้อสรุปของโจทย์ และตัดสินข้อสรุปของโจทย์ว่า เป็นจริง เป็นเท็จ หรือ ไม่แน่นอน เพื่อนำไปสู่การเลือก ตัวเลือกที่เกี่ยวข้องต่อไป ดังตารางข้างล่างนี้
    ข้อสรุปโจทย์ผลที่ได้จากการพิสูจน์
    A>B A≥B A<B A≤B A=B เครื่องหมายสวนกัน 
    A>Bจริงไม่แน่เท็จเท็จเท็จไม่แน่
    A≥Bจริงจริงเท็จเท็จจริงไม่แน่
    A<Bเท็จเท็จจริงไม่แน่เท็จไม่แน่
    A≤Bเท็จเท็จจริงจริงจริงไม่แน่
    A=Bเท็จไม่แน่เท็จไม่แน่จริงไม่แน่
    A≠Bจริงไม่แน่จริงไม่แน่เท็จไม่แน่
    หมายเหตุ
    1. กรณี มากกว่าหรือเท่ากับ (≥) เช่น A ≥ B สามารถพูดได้ว่า "A มากกว่า B หรือ A เท่ากับ B" ซึ่งเรียกว่า ประพจน์ความรวม (Compound statement) ที่เป็น Disjunction หรือเชื่อมกันด้วย OR
      ความเป็นเท็จ จะมีกรณีเดียวคือ เมื่อทั้งคู่เป็นเท็จเท่านั้น นอกจากนั้นเป็นจริงทั้งหมด ดังตาราง
      กำหนดให้
      p: A มากกว่า B
      q: A เท่ากับ B
      pqp∨q
      จริงจริงจริง
      จริงเท็จจริง
      เท็จจริงจริง
      เท็จเท็จเท็จ

      ดังนั้นเมื่อเราพิสูจน์ได้ว่า ประพจน์ใดประพจน์หนึ่งเป็นจริง ประพจน์ความรวมก็เป็นจริง เช่น
      ถ้าโจทย์ให้ข้อสรุปว่า A ≥ B
      ถ้าผลการพิสูจน์ของเราได้ A > B ก็สรุปได้ว่า A ≥ B เป็นจริง
      หรือ ถ้าผลการพิสูจน์ของเราได้ว่า A=B ก็สรุปได้ว่า A ≥ B เป็นจริง เช่นกัน
      แต่ถ้าผลการพิสูจน์พบว่า A < B อย่างนี้ก็แสดงว่า ข้อสรุปเป็นเท็จ
    2. กรณี น้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤) ก็ทำนองเดียวกัน กับ มากกว่าหรือเท่ากับ
    3. กรณีที่มีเครื่องหมายสวนทางกัน เช่น A > B < C เราไม่สามารถหาความสัมพันธ์ ระหว่าง A และ C ได้ แต่เรารู้ว่า A > B และ B < C



ฝึกทำแบบฝึกหัด เงื่อนไขสัญลักษณ์ คลิกที่นี่


อ้างอิง
http://www.mathsisfun.com/algebra/inequality-properties.html
http://people.sju.edu/~pklingsb/ineq.pdf http://www.mathgoodies.com/lessons/vol9/disjunction.html

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น