ความสามารถทั่วไป เงื่อนไขสัญลักษณ์

ข้อสอบ ก.พ. ความสมารถทั่วไป เงื่อนไขสัญลักษณ์ ส่วนใหญ่เป็นข้อสอบเกี่ยวกับการเปรียบเทียบ โดย
ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เช่น
-เครื่องหมาย เท่ากัน (=) เช่น A=B
-เครื่องหมาย ไม่เท่ากัน(≠) เช่น A ≠ B
-เครื่องหมายมากกว่า (>) เช่น A > B
-เครื่องหมายน้อยกว่า(<) เช่น A < B
-เครื่องหมายมากกว่าหรือเท่ากับ (≥) เช่น A ≥ B
-เครื่องหมายน้อยกว่าหรือเท่ากับ(≤) เช่น A ≤ B
-เครื่องหมายไม่มากกว่า(≯) เช่น A ≯ B
-เครื่องหมายไม่น้อยกว่า(≮) เช่น A ≮ B
เป็นต้น

ในการแก้ปัญหาโจทย์ที่เกี่ยวกับการเปรียบเทียบ มีหลักการเบื้องต้น หรือ คุณสมบัติการไม่เท่ากันของจำนวนจริง (Properties of Inequalities) ที่ควรทราบ คือ
  1. คุณสมบัติด้านการส่งผ่าน (Transitive Property)
    ถ้าเรานำค่ามาเรียงกันในทิศทางเดียวกัน เราสามารถข้ามตัวกลางได้ เช่น
    1. A>B>C>D เราสามารถสรุปได้ว่า A>D
      นั่นคือ เราสามารถข้าม B และ C ได้
    2. ถ้า A ≥ B ≥ C ≥ D แล้ว
      สามารถสรุปได้ว่า
      A ≥ D
    3. ถ้า A > B ≥ C ≥ D แล้ว
      สามารถสรุปได้ว่า
      A > D
    ข้อสังเกต
    1. คุณสมบัติด้านการส่งผ่าน นำไปใช้เรื่องการยุบรวม ในการแก้ปัญหาโจทย์เงื่อนไขสัญลักษณ์
      นั่นคือ
      ถ้า A > B ≥ C ≥ D แล้ว ยุบรวมได้เป็น A > B
      ถ้า B ≥ C  >  D แล้ว ยุบรวมได้เป็น B > D
      ถ้า B ≥ C  =  D แล้ว ยุบรวมได้เป็น B  ≥  D

      ลำดับความสำคัญของเครื่องหมายคือ

      ลำดับสูงสุด คือ เครื่องหมาย  > และ เครื่องหมาย <
      รองลงมาคือ เครื่องหมาย   ≥ และ เครื่องหมาย  ≤ 
      สุดท้ายคือ เครื่องหมาย =

      การยุบรวม ให้ยึดลำดับความสำคัญเป็นหลัก
      ถ้า A  >  B  ≥  C ≥ D แล้ว เนื่องจาก  >  ระดับสูงกว่า  ≥  ยุบรวมจึงได้เป็น A > D
      ถ้า B  ≥  C  >  D = E แล้ว เครื่องหมาย > สูงกว่า ≥ และ =  ยุบรวมได้เป็น B > E
      ถ้า B  ≥  C   ≥  D = E แล้ว เครื่องหมาย ≥ สูงกว่า  =  ยุบรวมได้เป็น B ≥ E
      ถ้า B  ≥  C   ≥  D < E แล้ว ระหว่าง B และ E สรุปได้ไม่แน่ชัด เพราะมีเครื่องหมายสวนทางกัน

    2. ทิศทางของเครื่องหมาย ต้องมีทิศทางเดียวกัน จะมีทิศทางสวนกัน หรือต่างกัน ไม่ได้ เช่น
      ถ้า A > B ≥ C < D แล้ว
      จะสรุปความสัมพันธ์ใด ๆ ระหว่าง A และ D ไม่ได้เลย
  2. คุณสมบัติการกลับ (Reversal Property)
    เราสามารถพูดได้ว่า ถ้า A>B แล้ว เราสามารถพูดกลับกันได้ว่า B<A

    ตัวอย่าง
    พ่อสูงมากกว่าแม่ พูดได้อีกอย่างว่า แม่สูงน้อยกว่าพ่อ
  3. การบวกและลบ
    ดาวน์โหลด App สอบ ก.พ. สำหรับ Android ฟรี ที่ Play Store
    • ตามหลักสูตร ก.พ. ใหม่
    • มีแนวข้อสอบ มากกว่า 1,000 ข้อ
    • มีเฉลยอย่างละเอียด มีคำอธิบายทุกข้อ
    • มีสรุปและเทคนิคการทำข้อสอบ
    • มีชุดข้อสอบให้ลองทำ พร้อมจับเวลา
    ดาวน์โหลดได้จาก Google Play
    เราสามารถนำตัวเลขตัวเดียวกัน มาบวก หรือ ลบ จำนวนที่ไม่เท่ากันได้ โดยยังมีทิศทางคงเดิม เช่น
    ถ้า A > B > C แล้ว สรุปได้ว่า A+D > B+D > C+D หรือ
    ถ้า A > B > C แล้ว สรุปได้ว่า A+5 > B+5> C+5 หรือ
    ถ้า A+D > B+D > C+D แล้ว สรุปได้ว่า A > B > C หรือ
    ถ้า A-D > B-D > C-D แล้ว สรุปได้ว่า A > B > C
    ตัวอย่าง
    พี่มีเงินมากว่าน้อง พ่อให้เงินพี่และน้องอีกคนละ 5 บาท เราสามารถสรุปได้ว่า พี่มีเงินมากกว่าน้อง เหมือนเดิม
  4. การคูณและหาร ด้วยจำนวนเต็มบวกที่ไม่ใช่ศูนย์
    เราสามารถนำเลขจำนวนเต็มที่มีค่าเป็นบวกที่ไม่เป็นศูนย์มาคูณหรือหาร จำนวนที่ไม่เท่ากัน ได้ โดยไม่ทำให้ทิศทางการไม่เท่ากันเปลี่ยนแปลง เช่น ถ้า A > B > C และ D เป็นเลขจำนวนเต็มบวกที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้ว สรุปได้ว่า DA > DB > DC หรือ
    ถ้า A > B > C แล้ว สรุปได้ว่า 5A > 5B > 5C

    ตัวอย่าง
    พี่มีเงิน 7 บาท น้องมีเงิน 5 บาท พ่อให้เงินพี่และน้องเพิ่มอีกคนละ 2 เท่า สรุปได้ว่า พี่มีเงินมากกว่าน้อง เพราะ พ่อให้เงินพี่ เท่ากับ 7x2 = 14 บาท ให้เงินน้อง 5x2 = 10 บาท ดังนั้น พี่มีเงิน 14+7 = 21 บาท น้องมีเงิน 5+10=15 บาท

    ข้อนี้มีประโยชน์คือ ถ้าโจทย์ ก.พ. มีการให้มา 2 เงื่อนไข แต่ตัวเชื่อมไม่เท่ากัน เราสามารถปรับตัวเชื่อมให้เท่ากันได้ โดยการคูณ หรือ หาร

  5. การคูณ หรือหาร ด้วยจำนวนลบ จะทำให้เครื่องหมายกลับเป็นตรงข้าม เช่น
    ถ้า a < b และ c เป็นเลขจำนวนเต็มลบ จะสรุปได้ว่า ac > bc
    (เท่าที่ผ่านมา ข้อสอบ ก.พ. ยังไม่พบว่ามีการใช้การคูณด้วยจำนวนเต็ม ลบ)
  6. การคูณไขว้ เศษส่วน
    ในกรณีที่ทุกตัวมีค่ามากกว่า 0 สามารถนำมาคูณไขว้กันได้ 
  7. การกลับเศษเป็นส่วน(Multiplicative Inverse) จะทำให้เครื่องหมายเปลี่ยนเป็นตรงข้าม
ลักษณะโจทย์ เงื่อนไขสัญลักษณ์
เงื่อนสัญลักษณ์ จะประกอบด้วย เงื่อนไขจำนวนหนึ่ง และมีข้อสรุปจำนวน 2 ข้อ ผู้เข้าสอบ ต้องพิสูจน์ว่าข้อสรุปแต่ละข้อ เป็นจริงตามเงื่อนไขหรือไม่ หรือไม่แน่นอน แล้วจึงเลือกตอบให้ถูกต้อง เช่น ถ้าเป็นจริงทั้งสองข้อ ตอบข้อ 1 เป็นต้น
ตัวอย่างลักษณะโจทย์ เงื่อนไขสัญลักษณ์
เงื่อนไข
A > C > K >B ข้อสรุป
1. K < A
2. A > B

การแก้ปัญหาโจทย์ เงื่อนไขสัญลักษณ์ มีหลักการดังนี้

  1. ในกรณีที่เงื่อนไขมีเครื่องหมาย ไม่มากกว่า(≯) หรือ เครื่องหมายไม่น้อยกว่า(≮) ให้แปลงเครื่องหมายดังกล่าวเป็น < หรือ > ดังนี้
    แปลงเครื่องหมายไม่มากกว่า(≯) เป็นเครื่องหมาย น้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤)
    แปลงเครื่องหมายไม่น้อยกว่า(≮) เป็นเครื่องหมายมากกว่าหรือเท่ากับ (≥)
    แปลงเครื่องหมายไม่มากกว่าหรือเท่ากับ(≱) เป็นเครื่องหมาย น้อยกว่า (<)
    แปลงเครื่องหมายไม่น้อยกว่าหรือเท่ากับ(≰) เป็นเครื่องหมายมากกว่า (>)
    ทั้งนี้เพื่อให้สะดวกในการแก้ปัญหา เช่น
    A > B > C &#8814 D
    เขียนใหม่เป็น
    A > B > C ≥ D
  2. ในกรณีที่ โจทย์กำหนดเงื่อนไข ในลักษณะการบวกกัน ให้กระจายการบวกออกเป็นตัวเดี่ยว ๆ เช่น
    P > A+B สามารถกระจายออกได้เป็น
    P > A+B > A (เพราะ A+B ย่อมมากกว่า A) และ
    P > A+B > B
    หรือเขียนเสียใหม่ได้ว่า
    P > A+B > A, B
    นั่นคือ จากเงื่อนไขข้างบนนี้ เราสามารถสรุปได้ว่า
    P > A
    P > B
    P มีค่ามากที่สุด
    จากเงื่อนไขข้างบนนี้ เราไม่สามารถสรุปความสัมพันธ์ ระหว่าง A และ B ได้

    P > A+B > C+D สามารถกระจายออกได้เป็น
    P > A+B > A, B > C+D > C,D

    นั่นคือ จากเงื่อนไขข้างบนนี้ เราสามารถสรุปได้ว่า
    P > A+B > C
    P > A > C
    P > A
    P > C
    P > B > C
    P > C
    P > D
    P มีค่ามากที่สุด
    เป็นต้น
    จากเงื่อนไขข้างบนนี้ เราไม่สามารถสรุปหาความสัมพันธ์ ระหว่าง A B C และ D ได้ ไม่รู้ว่า อะไรมากกว่าอะไร หรือน้อยกว่าอะไร เพราะ ไม่แน่นอน สรุปไม่ได้ ไม่มีข้อมูลพอเพียงแก่การสรุปนั่นเอง
  3. ถ้าโจทย์มีมากกว่า 1 เงื่อนไข ให้มองหาตัวเชื่อมในระหว่างเงื่อนไข และทำตัวเชื่อมให้เท่ากันเสียก่อน โดยเพิ่มค่าเชื่อมที่น้อยกว่า ให้เท่ากับตัวเชื่อมที่มากกว่า ด้วยการ คูณ ซึ่งจะทำให้เปรียบเทียบค่าทั้งในเงื่อนไขที่ 1 และ เงื่อนไขที่ 2 ได้ เช่น
    เงื่อนไขที่ 1: A > 3C > 3E > D
    เงื่อนไขที่ 2: F > C > 2B

    จะเห็นว่า ทั้งสองเงื่อนไขมีตัวเชื่อมคือ C และค่าของ C ในเงื่อนไขที่ 2 มีค่าน้อยกว่าในเงื่อนไขที่ 1
    ดังนั้นจึงทำค่าของ C ให้เท่ากับ C ในเงื่อนไขที่ 1 โดยการเอา 3 คูณเงื่อนไขที่ 2 ได้ค่าใหม่เป็น
    3F > 3C > 6B
  4. การตัดสินข้อสรุปของโจทย์
  5. หลังจากที่เราได้ผลลัพธ์จากพิสูจน์เงื่อนไขแล้ว จึงนำมาเปรียบเทียบกับ ข้อสรุปของโจทย์ และตัดสินข้อสรุปของโจทย์ว่า เป็นจริง เป็นเท็จ หรือ ไม่แน่นอน เพื่อนำไปสู่การเลือก ตัวเลือกที่เกี่ยวข้องต่อไป ดังตารางข้างล่างนี้

    ข้อสรุปโจทย์ผลที่ได้จากการพิสูจน์
    A>B A≥B A<B A≤B A=B เครื่องหมายสวนกัน 
    A>Bจริงไม่แน่เท็จเท็จเท็จไม่แน่
    A≥Bจริงจริงเท็จเท็จจริงไม่แน่
    A<Bเท็จเท็จจริงไม่แน่เท็จไม่แน่
    A≤Bเท็จเท็จจริงจริงจริงไม่แน่
    A=Bเท็จไม่แน่เท็จไม่แน่จริงไม่แน่
    A≠Bไม่แน่ไม่แน่ไม่แน่ไม่แน่เท็จไม่แน่

    หมายเหตุ

    การจำตาราง อาจเป็นเรื่องยาก ถ้าจำแบบง่าย ๆ คือ ดูว่า เครื่องหมายในข้อสรุป ครอบคลุมเครื่องหมายในเงื่อนไขที่พิสูจน์ได้หรือไม่

    ถ้าครอบคลุม คือ เป็นจริง 
    ถ้าครอบคลุมบางส่วน คือ ไม่แน่ชัด
    ถ้าไม่เหมือนกันเลยหรือไม่ครอบคลุม คือ เป็นเท็จ

    ตัวอย่าง ให้พิจารณาจากตารางข้างบน เช่น

    เครื่องหมาย > ครอบคลุมเพียงบางส่วนของเครื่องหมาย ≥ จึงสรุปว่า ไม่แน่ชัด
    เครื่องหมาย = ครอบคลุมเพียงบางส่วนของเครื่องหมาย ≥ จึงสรุปว่า ไม่แน่ชัด
    เครื่องหมาย ≤ ครอบคลุมเครื่องหมาย = จึงสรุปว่า เป็นจริง
    เครื่องหมาย ≤ ครอบคลุมเครื่องหมาย < จึงสรุปว่า เป็นจริง
    เครื่องหมาย ≤ ไม่ครอบคลุมเครื่องหมาย > จึงสรุปว่า เป็นเท็จ


ฝึกทำแบบฝึกหัด เงื่อนไขสัญลักษณ์ คลิกที่นี่


อ้างอิง
http://www.mathsisfun.com/algebra/inequality-properties.html
http://people.sju.edu/~pklingsb/ineq.pdf http://www.mathgoodies.com/lessons/vol9/disjunction.html

ความคิดเห็น

แสดงความคิดเห็น

โพสต์ยอดนิยมจากบล็อกนี้

อุปมา อุปไมย สำนวนการเปรียบเทียบ ของไทย

แนวข้อสอบ เงื่อนไขสัญลักษณ์

ความสามารถทั่วไปด้านเหตุผล การหาความสัมพันธ์จาก ภาพ สัญลักษณ์